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教程：在讲义的背景下使用 torch_vn_algebra

本教程在讲义的背景下，展示如何在 PyTorch 库 torch_vn_algebra 中（CPU 与 GPU）对有限维冯·诺依曼代数 \(\bigoplus_cM_{k_c}(\mathbb C)\)——带对称性扇区的分块对角矩阵——进行计算：随机矩阵与 Haar 随机酉矩阵、量子态、量子信道与熵、 Schrödinger 与 Lindblad 动力学、对称性扇区中的自旋链与精确对角化、群表示的 Wedderburn 分解、量子纠错、等变层以及若尔当代数。每个教程配合讲义中编号相同的一章：它展示那里证明的结果对应的库代码，用精确 结果（定理、闭合公式或独立计算）检验代码，并在可与之比较的工具一节中列出完成同一任务的标准工具。每一节都以一行 讲义： 开头，链接到该节及其所用的结果。只是计算出来的数值（例如大 \(n\) 时的能级统计）标记为数值观察，从不用作 前提或测试目标。除讲义的预备知识之外，本教程还假定读者熟悉 Python。

教程中的全部代码都由测试套件（tests/test_man.py）执行，因此每个例子都能在当前版本的 库中运行。

如何运行代码

pip install -e .                # from the root of the repository
python -m pytest tests/test_man.py -q

一章中的所有代码块可以按顺序粘贴到同一个 Python 会话或 Jupyter 笔记本中运行。同一章的 代码块共享变量。

目录

	章	主要结果
0	本课程讲什么	代数作为数据类型：块结构 = 批量张量；代价；已有的工作与新的内容
1	矩阵代数与函数演算	谱定理、函数演算、极分解、迹范数对偶、GUE 的一个矩
2	有限维冯·诺依曼代数	双交换子定理、结构定理、中心、对称群与交换子、条件期望
3	迹、态与熵	迹的分类、密度、扇区的熵、Klein 不等式、在到中心的条件期望下的单调性、Michelson 对比度
4	对称性与表示	Schur 引理、荷扇区、\(U(1)\) 与 \(SU(2)\)、自旋系统、实型、复型与四元数型
5	代数中的随机矩阵	\(\prod_cU(k_c)\) 上的 Haar 测度、Weingarten 演算、能级统计以及为何不能混合扇区
6	量子信道	Kraus 表示与 Stinespring 表示、关于迹的对偶、扇区之间的映射、退相干
7	张量积与纠缠	偏迹、Page 公式、荷的融合
8	动力学	Schrödinger 方程与 Lindblad 方程、扇区间的跃迁、后选择
9	自旋链	磁化与动量扇区、Lanczos 方法、Bethe 拟设检验、无序
10	量子计算	无退相干子空间、算子代数纠错、带约束的混合算子
11	优化与迹不等式	带约束的参数化、采样与优化的对比
12	等变机器学习	作为交换子的等变层
13	若尔当代数：量子力学为何使用 *-代数	若尔当积与二次表示、自旋因子与洛伦兹锥、Jordan–von Neumann–Wigner 分类、转置与部分转置、若尔当形式的迹不等式
A	分析与概率中的若干事实	幂级数与零测集、高斯向量、球面测度、特征值不等式、Isserlis–Wick 公式
B	Schur–Weyl 对偶与 Weingarten 演算	Schur–Weyl 对偶、Weingarten 函数、Wigner–Eckart 定理、\(O(k)\) 上的 Haar 测度
C	特征值密度与 Page 公式	Weyl 积分公式、GOE/GUE、Wishart 密度与诱导密度、Page 公式
D	量子动力学半群的生成元	GKSL 定理、直和上的生成元、Frigerio 定理、Bény–Kempf–Kribs
E	欧几里得若尔当代数的分类	Peirce 分解、Hurwitz 定理与 Frobenius 定理、坐标化、Albert 代数、Jordan–von Neumann–Wigner 定理
F	对称锥、序同构与若尔当映射	平方锥、Koecher–Vinberg 定理、Kadison 定理、\(\bigoplus_cM_{k_c}\) 的若尔当自同构

数学部分——定义、定理和完整证明——见讲义，其中还有预备知识、延伸阅读和本库的配套论文。