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Tutorial: torch_vn_algebra en el contexto de los apuntes de clase¶
Este tutorial muestra cómo calcular con las álgebras de von Neumann de dimensión finita \(\bigoplus_cM_{k_c}(\mathbb C)\)
—matrices diagonales por bloques con sectores de simetría— en la biblioteca de PyTorch torch_vn_algebra, en CPU y GPU,
en el contexto de los apuntes de clase: matrices aleatorias y unitarias de Haar,
estados cuánticos, canales y entropías, dinámica de Schrödinger y de Lindblad, cadenas de espines y diagonalización
exacta en sectores de simetría, descomposiciones de Wedderburn de representaciones de grupos, corrección cuántica de
errores, capas equivariantes y álgebras de Jordan. Cada tutorial acompaña
al capítulo de los apuntes de clase con el mismo número: muestra el código de la biblioteca para los resultados
demostrados allí, comprueba el código frente a un resultado exacto (un teorema, una fórmula cerrada o un cálculo
independiente) y menciona, en una sección Con qué comparar, las herramientas habituales para la misma tarea. Cada
sección empieza con una línea Apuntes: que enlaza con la sección y los resultados que usa. Los números que solo se
calculan (por ejemplo, la estadística de niveles para \(n\) grande) se señalan como observación numérica y nunca se
usan como premisas ni como objetivos de las pruebas. Además de los requisitos previos
de los apuntes de clase, el tutorial presupone Python.
Todo el código del tutorial se ejecuta en la batería de pruebas (tests/test_man.py), de
modo que cada ejemplo funciona con la versión actual de la biblioteca.
Cómo ejecutar el código¶
pip install -e . # from the root of the repository
python -m pytest tests/test_man.py -q
Todos los bloques de código de un capítulo pueden pegarse, en orden, en una misma sesión de Python o en un cuaderno de Jupyter. Los bloques de un mismo capítulo comparten sus variables.
Contenido¶
| capítulo | resultados principales | |
|---|---|---|
| 0 | De qué trata este curso | el álgebra como tipo de datos: estructura de bloques = tensores por lotes; coste; qué existe y qué es nuevo |
| 1 | Álgebras de matrices y cálculo funcional | teorema espectral, cálculo funcional, descomposición polar, dualidad de la norma traza, un momento del GUE |
| 2 | Álgebras de von Neumann de dimensión finita | teorema del doble conmutante, teorema de estructura, centro, grupos de simetría y conmutantes, esperanzas condicionales |
| 3 | Trazas, estados y entropía | clasificación de las trazas, densidades, entropía de los sectores, desigualdad de Klein, monotonía bajo la esperanza condicional sobre el centro, contraste de Michelson |
| 4 | Simetrías y representaciones | lema de Schur, sectores de carga, \(U(1)\) y \(SU(2)\), sistemas de espines, tipo real, complejo y cuaterniónico |
| 5 | Matrices aleatorias en un álgebra | medida de Haar en \(\prod_cU(k_c)\), cálculo de Weingarten, estadística de niveles y por qué no deben mezclarse los sectores |
| 6 | Canales cuánticos | Kraus y Stinespring, duales respecto de una traza, aplicaciones entre sectores, decoherencia |
| 7 | Productos tensoriales y entrelazamiento | traza parcial, fórmula de Page, fusión de cargas |
| 8 | Dinámica | ecuaciones de Schrödinger y de Lindblad, saltos entre sectores, postselección |
| 9 | Cadenas de espines | sectores de magnetización y de momento, Lanczos, comprobaciones con el ansatz de Bethe, desorden |
| 10 | Computación cuántica | subespacios libres de decoherencia, corrección de errores en álgebras de operadores, mezcladores con restricciones |
| 11 | Optimización y desigualdades de trazas | parametrizaciones con restricciones, muestreo frente a optimización |
| 12 | Aprendizaje automático equivariante | capas equivariantes como conmutantes |
| 13 | Álgebras de Jordan: por qué la mecánica cuántica usa *-álgebras | producto de Jordan y representación cuadrática, factores de espín y el cono de Lorentz, la clasificación de Jordan–von Neumann–Wigner, la traspuesta y la traspuesta parcial, una desigualdad de trazas en forma de Jordan |
| A | Hechos de análisis y de probabilidad | series de potencias y conjuntos nulos, vectores gaussianos, medidas esféricas, desigualdades de valores propios, Isserlis–Wick |
| B | Dualidad de Schur–Weyl y cálculo de Weingarten | dualidad de Schur–Weyl, funciones de Weingarten, teorema de Wigner–Eckart, medida de Haar en \(O(k)\) |
| C | Densidades de valores propios y la fórmula de Page | fórmula de integración de Weyl, GOE/GUE, densidades de Wishart e inducidas, fórmula de Page |
| D | Generadores de semigrupos dinámicos cuánticos | el teorema GKSL, generadores en sumas directas, teorema de Frigerio, Bény–Kempf–Kribs |
| E | Clasificación de las álgebras de Jordan euclídeas | descomposición de Peirce, teoremas de Hurwitz y de Frobenius, coordinatización, el álgebra de Albert, el teorema de Jordan–von Neumann–Wigner |
| F | Conos simétricos, isomorfismos de orden y aplicaciones de Jordan | conos de cuadrados, el teorema de Koecher–Vinberg, el teorema de Kadison, automorfismos de Jordan de \(\bigoplus_cM_{k_c}\) |
Las matemáticas —definiciones, teoremas y demostraciones completas— están en los apuntes de clase, junto con los requisitos previos, las lecturas complementarias y el artículo que acompaña a la biblioteca.