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Tutorial: torch_vn_algebra im Kontext der Vorlesungsnotizen

Dieses Tutorial zeigt, wie man in der PyTorch-Bibliothek torch_vn_algebra auf CPU und GPU mit den endlichdimensionalen von-Neumann-Algebren \(\bigoplus_cM_{k_c}(\mathbb C)\) – blockdiagonalen Matrizen mit Symmetriesektoren – rechnet, im Kontext der Vorlesungsnotizen: Zufallsmatrizen und Haar-verteilte unitäre Matrizen, Quantenzustände, Quantenkanäle und Entropien, Schrödinger- und Lindblad-Dynamik, Spinketten und exakte Diagonalisierung in Symmetriesektoren, Wedderburn-Zerlegungen von Gruppendarstellungen, Quantenfehlerkorrektur, äquivariante Schichten und Jordan-Algebren. Jedes Tutorial begleitet das Kapitel der Vorlesungsnotizen mit derselben Nummer: Es zeigt den Bibliothekscode zu den dort bewiesenen Ergebnissen, überprüft den Code an einem exakten Ergebnis (einem Satz, einer geschlossenen Formel oder einer unabhängigen Rechnung) und nennt in einem Abschnitt Womit man vergleichen sollte die Standardwerkzeuge für dieselbe Aufgabe. Jeder Abschnitt beginnt mit einer Zeile Vorlesungsnotizen:, die auf den Abschnitt und die von ihm verwendeten Ergebnisse verweist. Zahlen, die nur berechnet werden (etwa die Niveaustatistik für großes \(n\)), sind als numerische Beobachtung gekennzeichnet und werden nie als Prämissen oder Testziele verwendet. Neben den Voraussetzungen der Vorlesungsnotizen setzt das Tutorial Python voraus.

Der gesamte Code des Tutorials wird von der Testsuite (tests/test_man.py) ausgeführt; jedes Beispiel funktioniert also mit der aktuellen Version der Bibliothek.

Wie man den Code ausführt

pip install -e .                # from the root of the repository
python -m pytest tests/test_man.py -q

Alle Codeblöcke eines Kapitels können der Reihe nach in eine einzige Python-Sitzung oder ein Jupyter-Notebook eingefügt werden. Die Blöcke eines Kapitels teilen sich ihre Variablen.

Inhalt

	Kapitel	Hauptergebnisse
0	Worum es in diesem Kurs geht	die Algebra als Datentyp: Blockstruktur = gestapelte Tensoren; Aufwand; was es gibt und was neu ist
1	Matrixalgebren und Funktionalkalkül	Spektralsatz, Funktionalkalkül, Polarzerlegung, Dualität der Spurnorm, ein GUE-Moment
2	Endlichdimensionale von-Neumann-Algebren	Bikommutantensatz, Struktursatz, Zentrum, Symmetriegruppen und Kommutanten, bedingte Erwartungen
3	Spuren, Zustände und Entropie	Klassifikation der Spuren, Dichten, Entropie der Sektoren, Kleinsche Ungleichung, Monotonie unter der bedingten Erwartung auf das Zentrum, Michelson-Kontrast
4	Symmetrien und Darstellungen	Schursches Lemma, Ladungssektoren, \(U(1)\) und \(SU(2)\), Spinsysteme, reeller, komplexer und quaternionischer Typ
5	Zufallsmatrizen in einer Algebra	Haar-Maß auf \(\prod_cU(k_c)\), Weingarten-Kalkül, Niveaustatistik und warum Sektoren nicht vermischt werden dürfen
6	Quantenkanäle	Kraus und Stinespring, duale Abbildungen bezüglich einer Spur, Abbildungen zwischen Sektoren, Dekohärenz
7	Tensorprodukte und Verschränkung	partielle Spur, Pagesche Formel, Fusion von Ladungen
8	Dynamik	Schrödinger- und Lindblad-Gleichung, Sprünge zwischen Sektoren, Postselektion
9	Spinketten	Sektoren von Magnetisierung und Impuls, Lanczos, Überprüfungen mit dem Bethe-Ansatz, Unordnung
10	Quantencomputing	dekohärenzfreie Unterräume, Fehlerkorrektur mit Operatoralgebren, Mixer mit Nebenbedingungen
11	Optimierung und Spurungleichungen	Parametrisierungen mit Nebenbedingungen, Stichprobenziehung versus Optimierung
12	Äquivariantes maschinelles Lernen	äquivariante Schichten als Kommutanten
13	Jordan-Algebren: warum die Quantenmechanik *-Algebren verwendet	Jordan-Produkt und quadratische Darstellung, Spinfaktoren und Lorentz-Kegel, die Klassifikation von Jordan–von Neumann–Wigner, Transposition und partielle Transposition, eine Spurungleichung in Jordan-Form
A	Tatsachen aus Analysis und Wahrscheinlichkeitstheorie	Potenzreihen und Nullmengen, Gaußsche Vektoren, sphärische Maße, Eigenwertungleichungen, Isserlis–Wick
B	Schur-Weyl-Dualität und der Weingarten-Kalkül	Schur-Weyl-Dualität, Weingarten-Funktionen, Satz von Wigner–Eckart, Haar-Maß auf \(O(k)\)
C	Eigenwertdichten und die Pagesche Formel	Weylsche Integrationsformel, GOE/GUE, Wishart- und induzierte Dichten, Pagesche Formel
D	Generatoren quantendynamischer Halbgruppen	der GKSL-Satz, Generatoren auf direkten Summen, Satz von Frigerio, Bény–Kempf–Kribs
E	Klassifikation der euklidischen Jordan-Algebren	Peirce-Zerlegung, Sätze von Hurwitz und Frobenius, Koordinatisierung, die Albert-Algebra, der Satz von Jordan–von Neumann–Wigner
F	Symmetrische Kegel, Ordnungsisomorphismen und Jordan-Abbildungen	Kegel der Quadrate, der Satz von Koecher–Vinberg, der Satz von Kadison, Jordan-Automorphismen von \(\bigoplus_cM_{k_c}\)

Die Mathematik – Definitionen, Sätze und vollständige Beweise – steht in den Vorlesungsnotizen, zusammen mit den Voraussetzungen, weiterführender Literatur und der Begleitarbeit zur Bibliothek.