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Tutoriel : torch_vn_algebra dans le contexte des notes de cours

Ce tutoriel montre comment calculer avec les algèbres de von Neumann de dimension finie \(\bigoplus_cM_{k_c}(\mathbb C)\) — des matrices diagonales par blocs avec des secteurs de symétrie — dans la bibliothèque PyTorch torch_vn_algebra, sur CPU et GPU, dans le contexte des notes de cours : matrices aléatoires et unitaires de Haar, états quantiques, canaux et entropies, dynamique de Schrödinger et de Lindblad, chaînes de spins et diagonalisation exacte dans les secteurs de symétrie, décompositions de Wedderburn de représentations de groupes, correction d'erreurs quantiques, couches équivariantes et algèbres de Jordan. Chaque tutoriel accompagne le chapitre des notes de cours de même numéro : il présente le code de la bibliothèque pour les résultats qui y sont démontrés, vérifie ce code par rapport à un résultat exact (un théorème, une formule close ou un calcul indépendant) et cite, dans une section Points de comparaison, les outils de référence pour la même tâche. Chaque section commence par une ligne Notes de cours : qui renvoie à la section et aux résultats qu'elle utilise. Les nombres qui sont seulement calculés (par exemple la statistique des niveaux pour \(n\) grand) sont signalés comme observation numérique et ne servent jamais de prémisses ni de cibles pour les tests. Outre les prérequis des notes de cours, le tutoriel suppose Python.

Tout le code du tutoriel est exécuté par la suite de tests (tests/test_man.py), de sorte que chaque exemple fonctionne avec la version actuelle de la bibliothèque.

Exécuter le code

pip install -e .                # from the root of the repository
python -m pytest tests/test_man.py -q

(La première commande s'exécute depuis la racine du dépôt.) Chaque bloc de code d'un chapitre peut être collé, dans l'ordre, dans une même session Python ou un même notebook Jupyter. Les blocs d'un même chapitre partagent leurs variables.

Table des matières

	chapitre	résultats principaux
0	L'objet de ce cours	l'algèbre comme type de données : structure par blocs = tenseurs par lots ; coût ; ce qui existe et ce qui est nouveau
1	Algèbres de matrices et calcul fonctionnel	théorème spectral, calcul fonctionnel, décomposition polaire, dualité de la norme trace, un moment du GUE
2	Algèbres de von Neumann de dimension finie	théorème du bicommutant, théorème de structure, centre, groupes de symétrie et commutants, espérances conditionnelles
3	Traces, états et entropie	classification des traces, densités, entropie des secteurs, inégalité de Klein, monotonie sous l'espérance conditionnelle sur le centre, contraste de Michelson
4	Symétries et représentations	lemme de Schur, secteurs de charge, \(U(1)\) et \(SU(2)\), systèmes de spins, type réel, complexe et quaternionique
5	Matrices aléatoires dans une algèbre	mesure de Haar sur \(\prod_cU(k_c)\), calcul de Weingarten, statistique des niveaux et pourquoi il ne faut pas mélanger les secteurs
6	Canaux quantiques	Kraus et Stinespring, duaux relativement à une trace, applications entre secteurs, décohérence
7	Produits tensoriels et intrication	trace partielle, formule de Page, fusion des charges
8	Dynamique	équations de Schrödinger et de Lindblad, sauts entre secteurs, post-sélection
9	Chaînes de spins	secteurs d'aimantation et d'impulsion, Lanczos, vérifications par l'ansatz de Bethe, désordre
10	Calcul quantique	sous-espaces sans décohérence, correction d'erreurs par algèbres d'opérateurs, mélangeurs sous contraintes
11	Optimisation et inégalités de traces	paramétrisations sous contraintes, échantillonnage ou optimisation
12	Apprentissage automatique équivariant	les couches équivariantes comme commutants
13	Algèbres de Jordan : pourquoi la mécanique quantique utilise des *-algèbres	produit de Jordan et représentation quadratique, facteurs de spin et cône de Lorentz, classification de Jordan–von Neumann–Wigner, transposée et transposée partielle, une inégalité de traces sous forme jordanienne
A	Résultats d'analyse et de probabilités	séries entières et ensembles négligeables, vecteurs gaussiens, mesures sphériques, inégalités sur les valeurs propres, Isserlis–Wick
B	Dualité de Schur–Weyl et calcul de Weingarten	dualité de Schur–Weyl, fonctions de Weingarten, théorème de Wigner–Eckart, mesure de Haar sur \(O(k)\)
C	Densités de valeurs propres et formule de Page	formule d'intégration de Weyl, GOE/GUE, densités de Wishart et densités induites, formule de Page
D	Générateurs des semi-groupes dynamiques quantiques	le théorème GKSL, générateurs sur les sommes directes, théorème de Frigerio, Bény–Kempf–Kribs
E	Classification des algèbres de Jordan euclidiennes	décomposition de Peirce, théorèmes de Hurwitz et de Frobenius, coordinatisation, l'algèbre d'Albert, le théorème de Jordan–von Neumann–Wigner
F	Cônes symétriques, isomorphismes d'ordre et applications de Jordan	cônes des carrés, le théorème de Koecher–Vinberg, le théorème de Kadison, automorphismes de Jordan de \(\bigoplus_cM_{k_c}\)

Les mathématiques — définitions, théorèmes et démonstrations complètes — se trouvent dans les notes de cours, avec les prérequis, les lectures complémentaires et l'article qui accompagne la bibliothèque.