English · Español · Français · Deutsch · 中文 · 日本語 · Русский

Руководство: torch_vn_algebra в контексте конспекта лекций

Это руководство показывает, как проводить вычисления с конечномерными алгебрами фон Неймана \(\bigoplus_cM_{k_c}(\mathbb C)\), то есть с блочно-диагональными матрицами с секторами симметрии, в библиотеке torch_vn_algebra для PyTorch (на CPU и GPU) в контексте конспекта лекций: случайные матрицы и унитарные матрицы Хаара, квантовые состояния, каналы и энтропии, динамика Шрёдингера и Линдблада, спиновые цепочки и точная диагонализация в секторах симметрии, разложения Веддербёрна представлений групп, квантовая коррекция ошибок, эквивариантные слои и йордановы алгебры. Каждое руководство сопровождает главу конспекта лекций с тем же номером: в нём приводится код библиотеки для доказанных там результатов, код проверяется по точному результату (теореме, явной формуле или независимому вычислению), а в разделе С чем сравнивать названы стандартные инструменты для той же задачи. Каждый раздел начинается строкой Конспект:, ведущей к соответствующему разделу конспекта и используемым результатам. Числа, которые только вычисляются (например, статистика уровней при больших \(n\)), помечены как численное наблюдение и никогда не используются ни как посылки, ни как цели тестов. Помимо предварительных сведений конспекта лекций, руководство предполагает знание Python.

Весь код руководства выполняется набором тестов (tests/test_man.py), поэтому каждый пример работает с текущей версией библиотеки.

Как запускать код

pip install -e .                # from the root of the repository
python -m pytest tests/test_man.py -q

Все блоки кода главы можно по порядку вставить в один сеанс Python или в блокнот Jupyter. Блоки одной главы используют общие переменные.

Содержание

	глава	основные результаты
0	О чём этот курс	алгебра как тип данных: блочная структура = пакеты тензоров; стоимость; что уже есть и что нового
1	Матричные алгебры и функциональное исчисление	спектральная теорема, функциональное исчисление, полярное разложение, двойственность для следовой нормы, момент GUE
2	Конечномерные алгебры фон Неймана	теорема о бикоммутанте, структурная теорема, центр, группы симметрий и коммутанты, условные ожидания
3	Следы, состояния и энтропия	классификация следов, плотности, энтропия секторов, неравенство Клейна, монотонность при условном ожидании на центр, контраст Майкельсона
4	Симметрии и представления	лемма Шура, зарядовые секторы, \(U(1)\) и \(SU(2)\), спиновые системы, вещественный, комплексный и кватернионный тип
5	Случайные матрицы в алгебре	мера Хаара на \(\prod_cU(k_c)\), исчисление Вайнгартена, статистика уровней и почему секторы нельзя смешивать
6	Квантовые каналы	представления Крауса и Стайнспринга, сопряжённые относительно следа, отображения между секторами, декогеренция
7	Тензорные произведения и запутанность	частичный след, формула Пейджа, слияние зарядов
8	Динамика	уравнения Шрёдингера и Линдблада, переходы между секторами, постселекция
9	Спиновые цепочки	секторы намагниченности и импульса, метод Ланцоша, проверки по анзацу Бете, беспорядок
10	Квантовые вычисления	подпространства, свободные от декогеренции, операторно-алгебраическая коррекция ошибок, миксеры с ограничениями
11	Оптимизация и следовые неравенства	параметризации с ограничениями, сэмплирование и оптимизация
12	Эквивариантное машинное обучение	эквивариантные слои как коммутанты
13	Йордановы алгебры: почему квантовая механика использует *-алгебры	йорданово произведение и квадратичное представление, спин-факторы и конус Лоренца, классификация Йордана–фон Неймана–Вигнера, транспонирование и частичное транспонирование, неравенство для следов в йордановой форме
A	Факты из анализа и теории вероятностей	степенные ряды и множества меры нуль, гауссовские векторы, сферические меры, неравенства для собственных значений, Иссерлис–Вик
B	Двойственность Шура–Вейля и исчисление Вайнгартена	двойственность Шура–Вейля, функции Вайнгартена, теорема Вигнера–Эккарта, мера Хаара на \(O(k)\)
C	Плотности собственных значений и формула Пейджа	формула интегрирования Вейля, GOE/GUE, плотности Уишарта и индуцированные плотности, формула Пейджа
D	Генераторы квантовых динамических полугрупп	теорема GKSL, генераторы на прямых суммах, теорема Фриджерио, Бени–Кемпф–Крибс
E	Классификация евклидовых йордановых алгебр	разложение Пирса, теоремы Гурвица и Фробениуса, координатизация, алгебра Альберта, теорема Йордана–фон Неймана–Вигнера
F	Симметрические конусы, порядковые изоморфизмы и йордановы отображения	конусы квадратов, теорема Кёхера–Винберга, теорема Кадисона, йордановы автоморфизмы \(\bigoplus_cM_{k_c}\)

Математика — определения, теоремы и полные доказательства — изложена в конспекте лекций, вместе с предварительными сведениями, дополнительной литературой и сопроводительной статьёй к библиотеке.