English · Español · Français · Deutsch · 中文 · 日本語 · Русский
Конечномерные алгебры фон Неймана: конспект лекций¶
Этот курс излагает теорию конечномерных алгебр фон Неймана, то есть алгебр \(\bigoplus_cM_{k_c}(\mathbb C)\) блочно-диагональных матриц, вместе с их приложениями в квантовой физике, квантовой теории информации, теории случайных матриц и машинном обучении: секторы симметрии и суперотбора, теорема о бикоммутанте и структурная теорема Веддербёрна, следы, состояния и энтропия, мера Хаара и исчисление Вайнгартена, квантовые каналы (Краус, Стайнспринг, Чой), уравнение Линдблада (ГКСЛ), спиновые цепочки, квантовая коррекция ошибок, эквивариантные нейронные сети и йордановы алгебры.
Курс рассчитан сразу на два круга читателей:
- Математики найдут самодостаточный текст: каждая сформулированная теорема, формула, константа и неравенство доказываются в курсе — в самой главе или в одном из приложений A–F, на которые даются ссылки по номеру, — исходя из перечисленных ниже предварительных сведений. Числа, которые только вычисляются (например, статистика уровней при больших \(n\)), помечены как численное наблюдение и никогда не используются ни как посылки, ни как цели тестов. Ссылки на литературу служат исторической атрибуции или дальнейшему чтению и никогда не заменяют доказательства.
- Физики и инженеры найдут физический смысл каждого понятия во врезках с пометкой Физический смысл. Эти врезки — физическая интерпретация, а не теоремы курса: ничто из доказанного в других местах от них не зависит. Работающий код, который можно приспособить к своим задачам, находится в руководстве.
Главы 1–13 устроены одинаково: определения и результаты с полными доказательствами, разобранные
примеры и упражнения с решениями. После каждого результата, который вычисляет или проверяет библиотека
torch_vn_algebra, строка Вычисление: или В библиотеке: ведёт к месту руководства,
где это делается.
Содержание¶
| глава | основные результаты | |
|---|---|---|
| 0 | О чём этот курс | алгебра как тип данных: блочная структура = пакеты тензоров; стоимость; что уже есть и что нового |
| 1 | Матричные алгебры и функциональное исчисление | спектральная теорема, функциональное исчисление, полярное разложение, двойственность для следовой нормы, момент GUE |
| 2 | Конечномерные алгебры фон Неймана | теорема о бикоммутанте, структурная теорема, центр, группы симметрий и коммутанты, условные ожидания |
| 3 | Следы, состояния и энтропия | классификация следов, плотности, энтропия секторов, неравенство Клейна, монотонность при условном ожидании на центр, контраст Майкельсона |
| 4 | Симметрии и представления | лемма Шура, зарядовые секторы, \(U(1)\) и \(SU(2)\), спиновые системы, вещественный, комплексный и кватернионный тип |
| 5 | Случайные матрицы в алгебре | мера Хаара на \(\prod_cU(k_c)\), исчисление Вайнгартена, статистика уровней и почему секторы нельзя смешивать |
| 6 | Квантовые каналы | представления Крауса и Стайнспринга, сопряжённые относительно следа, отображения между секторами, декогеренция |
| 7 | Тензорные произведения и запутанность | частичный след, формула Пейджа, слияние зарядов |
| 8 | Динамика | уравнения Шрёдингера и Линдблада, переходы между секторами, постселекция |
| 9 | Спиновые цепочки | секторы намагниченности и импульса, метод Ланцоша, проверки по анзацу Бете, беспорядок |
| 10 | Квантовые вычисления | подпространства, свободные от декогеренции, операторно-алгебраическая коррекция ошибок, миксеры с ограничениями |
| 11 | Оптимизация и следовые неравенства | параметризации с ограничениями, сэмплирование и оптимизация |
| 12 | Эквивариантное машинное обучение | эквивариантные слои как коммутанты |
| 13 | Йордановы алгебры: почему квантовая механика использует *-алгебры | йорданово произведение и квадратичное представление, спин-факторы и конус Лоренца, классификация Йордана–фон Неймана–Вигнера, транспонирование и частичное транспонирование, неравенство для следов в йордановой форме |
| A | Факты из анализа и теории вероятностей | степенные ряды и множества меры нуль, гауссовские векторы, сферические меры, неравенства для собственных значений, Иссерлис–Вик |
| B | Двойственность Шура–Вейля и исчисление Вайнгартена | двойственность Шура–Вейля, функции Вайнгартена, теорема Вигнера–Эккарта, мера Хаара на \(O(k)\) |
| C | Плотности собственных значений и формула Пейджа | формула интегрирования Вейля, GOE/GUE, плотности Уишарта и индуцированные плотности, формула Пейджа |
| D | Генераторы квантовых динамических полугрупп | теорема GKSL, генераторы на прямых суммах, теорема Фриджерио, Бени–Кемпф–Крибс |
| E | Классификация евклидовых йордановых алгебр | разложение Пирса, теоремы Гурвица и Фробениуса, координатизация, алгебра Альберта, теорема Йордана–фон Неймана–Вигнера |
| F | Симметрические конусы, порядковые изоморфизмы и йордановы отображения | конусы квадратов, теорема Кёхера–Винберга, теорема Кадисона, йордановы автоморфизмы \(\bigoplus_cM_{k_c}\) |
Предварительные сведения¶
Курс предполагает только следующее и доказывает всё остальное.
- Линейная алгебра над \(\mathbb R\) и \(\mathbb C\) (конечномерная) и основная теорема алгебры.
- Стандартный вещественный анализ и дифференциальное исчисление функций многих переменных: пределы, непрерывность, компактность в \(\mathbb R^n\), дифференцирование, теорема о среднем, формула Тейлора, теоремы об обратной и о неявной функции.
- Стандартная теория меры и интеграла: мера Лебега, произведения мер и теорема Фубини–Тонелли, теоремы о мажорируемой и о монотонной сходимости, замена переменных в \(\mathbb R^n\), образы мер, плотности, независимость.
- Элементарная теория вероятностей: математическое ожидание, дисперсия, независимость, гауссовское распределение и его производящая функция моментов, неравенства Маркова и Чебышёва, закон больших чисел.
Знание физики и функционального анализа не предполагается.
Дополнительная литература¶
M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I (Springer, 2002); V. Jones, von Neumann algebras, конспект лекций; D. Petz, Quantum Information Theory and Quantum Statistics (Springer, 2008); J. Watrous, The Theory of Quantum Information (Cambridge, 2018); M. L. Mehta, Random Matrices (Elsevier, 2004).
Библиотеке torch_vn_algebra и её использованию в контексте этого конспекта посвящено
руководство. Сопроводительная статья к библиотеке:
man/article/main.pdf.